Question

下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的底面与侧面。

（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；

（2）若SA面ABCD，E为AB中点，求证：面面

（3）求点D到面SEC的距离。

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】本题考查线面垂直、面面垂直定义，判定，性质．以及空间距离的求解．平面问题与空间问题相互转化的思想方法，考查计算能力

（1）由 SA⊥AB，SA⊥AD 可得，存在一条侧棱SA垂直于底面

（2）分别取SC、SD的中点G、F，可证AF∥EG．证明CD⊥AF，AF⊥SD，从而证明 AF⊥面SCD，故EG⊥面SCD，从而证得面SEC⊥面SCD．

（3）由面面垂直的性质定理，由A向平面SAC与平面SBD的交线作垂线，构造直角三角形解决点A到平面SBD的距离

解（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）

即SA底面ABCD………………3分

∵，且AB、AD是面ABCD内两条相交直线

SA底面ABCD……………………5分

（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，

则GF//EA,GF=EA,AF//EG

而由SA面ABCD得SACD，

又ADCD，CD面SAD，

又SA=AD,F是中点， 

 面SCD，即EG面SCD, 

面面…………10分

(3)作DHSC于H，

∵面SEC面SCD,DH面SEC,

DH之长即为点D到面SEC的距离，12分

在RtSCD中，

答：点D到面SEC的距离为…………14分