(本小题满分12分)
设点到直线
的距离与它到定点
的距离之比为
,并记点
的轨迹为曲线
.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设,过点
的直线
与曲线
相交于
两点,当线段
的中点落在由四点
构成的四边形内(包括边界)时,求直线
斜率的取值范围.
(Ⅰ);(Ⅱ)
解析试题分析:(Ⅰ)有题意, ………………2分
整理得,所以曲线
的方程为
………………4分
(Ⅱ)显然直线的斜率
存在,所以可设直线
的方程为
.
设点的坐标分别为
线段的中点为
,
由
得
由解得
.…(1) …………7分
由韦达定理得,于是
=
,
……………8分
因为,所以点
不可能在
轴的右边,
又直线,方程分别为
所以点在正方形内(包括边界)的充要条件为
即
亦即
………………10分
解得,……………(2)
由(1)(2)知,直线斜率的取值范围是
………………12分
考点:本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系
点评:椭圆的概念和性质,仍将是今后命题的热点,定值、最值、范围问题将有所加强;利用直线、弦长、圆锥曲线三者的关系组成的各类试题是解析几何中长盛不衰的主题,其中求解与相交弦有关的综合题仍是今后命题的重点;与其它知识的交汇(如向量、不等式)命题将是今后高考命题的一个新的重点、热点.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系O
中,直线
与抛物线
=2
相交于A、B两点。
(1)求证:命题“如果直线过点T(3,0),那么
=3”是真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆
经过点
其离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
相交于A、B两点,以线段
为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆
上,
为坐标原点.求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分14分)
已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为
,右顶点为
,设点
.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若是椭圆上的动点,求线段
中点
的轨迹方程;
(3)过原点的直线交椭圆于点
,求
面积的最大值。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题12分)已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,其中F2也是抛物线
的焦点,M是C1与C2在第一象限的交点,且
(I)求椭圆C1的方程; (II)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上,顶点B、D在直线上,求直线AC的方程。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,又知此抛物线上一点A(4,m)到焦点的距离为6.
(1)求此抛物线的方程;
(2)若此抛物线方程与直线相交于不同的两点A、B,且AB中点横坐标为2,求k的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分15分)
在平面内,已知椭圆的两个焦点为
,椭圆的离心率为
,
点是椭圆上任意一点, 且
,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)以椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形
,这样的等腰直角三角形是否存在?若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程?若不存在,请说明理由.
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