Question

13．如图1，在四棱锥P-ABCD中PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图2所示．


（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）证明：AM∥平面PBC；
（Ⅲ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用俯视图和勾股定理的逆定理可得BC⊥BD，利用线面垂直的性质定理可得BC⊥PD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅱ）取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．利用左视图和平行线分线段成比例的判定和性质即可得出MQ∥CD，MQ=$\frac{1}{4}$CD．
再利用平行四边形的判定和性质定理即可得出AM∥BQ，利用线面平行的判定定理即可证明．
（Ⅲ）利用棱锥的体积公式，即可求四棱锥P-ABCD的体积．

解答 （Ⅰ）证明：由俯视图可得，BD²+BC²=CD²，
∴BC⊥BD．
又∵PD⊥平面ABCD，
∴BC⊥PD，
又∵BD∩PD=D，
∴BC⊥平面PBD．
（Ⅱ）证明：取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．
由左视图知 PM：PD=1：4，∴MQ∥CD，MQ=$\frac{1}{4}$CD．
在△BCD中，易得∠CDB=60°，∴∠ADB=30°．
又 BD=2，∴AB=1，AD=$\sqrt{3}$．
又∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{4}$CD，
∴AB∥MQ，AB=MQ．
∴四边形ABQM为平行四边形，
∴AM∥BQ．
∵AM?平面PBC，BQ?平面PBC，
∴直线AM∥平面PBC．
（Ⅲ）解：∵底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AD⊥AB，AB=1，CD=4，AD=$\sqrt{3}$，
∴S_ABCD=$\frac{1}{2}•（1+4）•\sqrt{3}$，
∵PD⊥底面ABCD，PD=4，
∴V=$\frac{1}{3}$•S_ABCD•PD=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•（1+4）•\sqrt{3}•4$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

点评 熟练掌握由三视图得到线面位置关系和数据、线面垂直的判定和性质定理、线面平行的判定和性质定理、求四棱锥P-ABCD的体积是解题的关键．