Question

3．函数f（x）=2（x-1）sinπx-1在区间[-2012，2014]内所有零点之和为（　　）

• A． 2012
• B． 4024
• C． 2014
• D． 4025

Answer 1

分析 设 f（x）=$\frac{1}{x-1}$，g（x）=2sinπx，此题是求以上两个函数的交点的横坐标的和的问题．从x=2开始，在每个周期上，f（x） 和 g（x）都有两个交点，在区间[2，2014]上，函数g（x） 共有1006个周期，因此和函数f（x）有2012个交点，因此在区间[-2012，0]上也有2012个交点．m是两个函数的一个交点的横坐标，则2-m也是两个函数的一个交点的横坐标，因为一共有2012对这样的交点，故所有根之和等于2×2012=4024

解答 解：函数f（x）=2（x-1）sinπx-1的零点，
即方程2（x-1）sinπx-1=0的根，
即方程2sinπx=$\frac{1}{x-1}$的根，
由f（x）=$\frac{1}{x-1}$，g（x）=2sinπx的图象均关于（1，0）点对称，
且在g（x）=2sinπx的每一个周期上均有两个交点，
故从x=2开始，在每个周期上，f（x） 和 g（x）都有两个交点，
在区间[2，2014]上，函数g（x） 共有1006个周期，因此和函数f（x）有2012个交点，
因此在区间[-2012，0]上也有2012个交点，
且对每一个交点，相对于（1，0）中心对称的点也是两个函数的交点．
而每对这样的交点之和为2，即若m是两个函数的一个交点的横坐标，则2-m也是两个函数的一个交点的横坐标，
因为一共有2012对这样的交点．
所以，在区间[-2012，2014]上，两个函数所有交点的横坐标的和为2012×2=4024，
故选：B

点评 本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，属于中档题