Question

18．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3）．
（1）若f（x）的定义域R，求a的取值范围．
（2）若f（-1）=3，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）当f（x）的定义域为R时，x²-2ax+3＞0恒成立，利用△＜0求出a的取值范围；
（2）根据f（-1）=3求出a的值，再利用二次函数的图象与性质，结合对数函数的图象与性质，即可求出复合函数的单调区间．

解答 解：（1）当f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3）的定义域为R时，
x²-2ax+3＞0恒成立，
∴△=4a²-4×1×3＜0，
即a²-3＜0，
解得-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$，
∴a的取值范围是-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$；
（2）当f（-1）=3时，${log}_{\frac{1}{2}}$（1+2a+3）=3，
即2a+4=$\frac{1}{8}$，解得a=-$\frac{31}{16}$；
∴f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²+$\frac{31}{8}$x+3），
令x²+$\frac{31}{8}$x+3＞0，
解得x＜-$\frac{31+\sqrt{193}}{16}$或x＞-$\frac{31-\sqrt{193}}{16}$；
当x＜-$\frac{31+\sqrt{193}}{16}$时，g（x）=x²+$\frac{31}{8}$x+3是减函数，
∴f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²+$\frac{31}{8}$x+3）是增函数；
当x＞-$\frac{31-\sqrt{193}}{16}$时，g（x）=x²+$\frac{31}{8}$x+3是增函数，
∴f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²+$\frac{31}{8}$x+3）是减函数；
∴f（x）的单调增区间是（-∞，-$\frac{31+\sqrt{193}}{16}$），单调减区间是（-$\frac{31-\sqrt{193}}{16}$，+∞）．

点评 本题考查了复合函数的单调性问题，也考查了一元二次不等式的恒成立问题，是综合性题目．