Question

10．已知数列{a_n}中，a₁=2，2a_n-a_n-1-1=0（n≥2）．
（1）判断数列{a_n-1}是否为等比数列？并说明理由；
（2）求a_n．

Answer 1

分析 （1）通过对2a_n-a_n-1-1=0（n≥2）变形可知a_n-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1-1）（n≥2），进而可知数列{a_n-1}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）通过（1）可知a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，进而可得结论．

解答 解：（1）结论：数列{a_n-1}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．
理由如下：
∵2a_n-a_n-1-1=0（n≥2），
∴a_n-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1-1）（n≥2），
又∵a₁=2，即a₁-1=2-1=1，
∴数列{a_n-1}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）由（1）可知a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．