Question

20．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．求：
（1）面A₁ABB₁与面ABCD所成角的大小；
（2）二面角C₁-BD-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）由面A₁ABB₁⊥面ABCD，能求出面A₁ABB₁与面ABCD所成角．
（2）取BD中点O，连结CO，C₁O，由已知得∠COC₁是二面角C₁-BD-C的平面角，由此能求出二面角C₁-BD-C的正切值．

解答 解：（1）∵AA₁⊥平面ABCD，AA₁?面A₁ABB₁，
∴面A₁ABB₁⊥面ABCD，
∴面A₁ABB₁与面ABCD所成角为90°．
（2）取BD中点O，连结CO，C₁O，
∵CD=CB=a，C₁B=C₁D=$\sqrt{2}a$，
∴CO⊥BD，C₁O⊥BD，
∴∠COC₁是二面角C₁-BD-C的平面角，
∵$C{C}_{1}=a，CO=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴tan∠COC₁=$\frac{C{C}_{1}}{OC}$=$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}$=$\sqrt{2}$．
∴二面角C₁-BD-C的正切值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二面角的大小及其余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．