Question

12．求下列极限．
（1）$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinsinx}{x}$
（2）$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sin4x}{\sqrt{x+1}-1}$
（3）$\underset{lim}{x→0}$（$\frac{1+x}{1-x}$）${\;}^{\frac{1}{x}}$．

Answer 1

分析 （1）通过变形$\frac{sinsinx}{x}$=$\frac{sinsinx}{sinx}$•$\frac{sinx}{x}$及换元法，利用$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinx}{x}$=1及极限的运算性质计算即得结论；
（2）利用洛必达法则及$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinx}{x}$=1计算即得结论；
（3）利用$\underset{lim}{x→0}$$（1+x）^{\frac{1}{x}}$=e计算即得结论．

解答 解：（1）$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinsinx}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$（$\frac{sinsinx}{sinx}$•$\frac{sinx}{x}$）
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinsinx}{sinx}$•$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinx}{x}$，
记t=sinx，则当x→0时t→0，
∴$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinsinx}{sinx}$=$\underset{lim}{t→0}$$\frac{sint}{t}$=1，
∴$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinsinx}{x}$=1•1=1；
（2）$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sin4x}{\sqrt{x+1}-1}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sin4x}{\frac{1}{2}x}$
=8$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sin4x}{4x}$
=8；
（3）$\underset{lim}{x→0}$（$\frac{1+x}{1-x}$）${\;}^{\frac{1}{x}}$=$\underset{lim}{x→0}$$（\frac{1-x+2x}{1-x}）^{\frac{1}{x}}$
=$\underset{lim}{x→0}$$（1+\frac{2x}{1-x}）^{\frac{1-x}{2x}•\frac{2}{1-x}}$
=${e}^{\underset{lim}{x→0}\frac{2}{1-x}}$
=e²．

点评 本题考查极限及其运算，涉及两个重要极限公式、洛必达法则等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．