Question

3．已知△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且∠A=$\frac{π}{3}$，若a=1，则△ABC的周长l的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，3]
• C． （2，3]
• D． （1，3）

Answer 1

分析 利用正弦定理表示出b，c，得到三角形的周长，然后通过两角和以及角的范围求解即可．

解答 解：△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且∠A=$\frac{π}{3}$，若a=1，
可得b=$\frac{sinB}{sin\frac{π}{3}}$，c=$\frac{sinC}{sin\frac{π}{3}}$，A+B+C=π，B=$\frac{2π}{3}-C$
l=a+b+c=1+$\frac{sinB}{sin\frac{π}{3}}+\frac{sinC}{sin\frac{π}{3}}$=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinC+sin（$\frac{2π}{3}-C$））
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{1}{2}$sinC）
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC）
=1+2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC+$\frac{1}{2}$cosC）
=1+2sin（C+$\frac{π}{6}$），∵$\frac{π}{6}$＜C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
∴1+2sin（C+$\frac{π}{6}$）∈（2，3]．
故选：C．

点评 本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，考查两角和与差的三角函数，是中档题．