Question

14．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=1，D是棱BC上的动点．
（1）当D在何处时，A₁C∥平面AB₁D，并证明之．
（2）若D为BC中点，且直线AB₁与平面ABC成60°角，试求二面角B-AB₁-D的余弦值大小．

Answer 1

分析 （1）连结A₁B，交AB₁于点O，由三角形中位线定理得OD∥A₁C，由此得到D在BC中点时，A₁C∥平面AB₁D．
（2）由已知得到∠BAB₁=60°，BB₁=$\sqrt{3}$，取B₁C₁中点E，以D为原点，AD为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AB₁-D的余弦值．

解答 解：（1）当D为BC中点时，A₁C∥平面AB₁D．
证明如下：
连结A₁B，交AB₁于点O，则O为A₁B的中点，
连结OD，∵D是BC中点，∴OD∥A₁C，
∵A₁C?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．
（2）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=1，
D为BC中点，且直线AB₁与平面ABC成60°角，
∴∠BAB₁=60°，∴AB₁=2，BB₁=$\sqrt{3}$，
取B₁C₁中点E，以D为原点，AD为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（-$\sqrt{3}$，0，0），B（0，-$\frac{1}{2}$，0），D（0，0，0），B₁（0，-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，-\frac{1}{2}，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DA}=（-\sqrt{3}，0，0）$，$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（0，-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），
设平面ABB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{3}x-\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}x-\frac{1}{2}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，6，0），
充平面AB₁D的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=-\sqrt{3}a=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=-\frac{1}{2}b+\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取c=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（0，6，$\sqrt{3}$），
设二面角B-AB₁-D的平面角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{36}{\sqrt{39}•\sqrt{39}}$|=$\frac{12}{13}$，
∴二面角B-AB₁-D的余弦值大小为$\frac{12}{13}$．

点评 本题考查使线面平行的点的位置的确定，考查二面角的余弦值的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．