Question

5．空间的点P到二面角α-l-β的面α、β及棱l的距离分别为4、3、$\frac{2\sqrt{39}}{3}$，求二面角α-l-β的大小．

Answer 1

分析 点P可能在二面角α-l-β内部，也可能在外部，应区别处理．过P点向平面α平面β和直线l做垂线，垂足分别为A，B，C，连接AC，BC，我们可得∠ACB锐二面角α-l-β的平面角，由此能求出二面角的大小．

解答 解：点P可能在二面角α-l-β内部，也可能在外部，应区别处理．∵PA⊥α，交α于A，AC⊥l，交l于C，连结PC，
∴由三垂线定理得PC⊥l，
∵PB⊥β，交β于B，连结BC，
∴由PC⊥l，利用三垂线定理的逆定理得BC⊥l，
∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角，
∵CA、CP、CB同时垂直于l，
∴A、C、B、P四点共面，∠PAC=∠PBC=90°，
∵由题设条件，得PA=4，PB=3，PC=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$，
∴AC=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{39}}{3}）^{2}-16}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，BC=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{39}}{3}）^{2}-9}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠ACP=$\frac{AP}{AC}$=2$\sqrt{3}$，tang$∠PCB=\frac{BP}{BC}$=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
当点P在二面角α-l-β的内部时，如图（1），
∠ACB=∠ACP+∠PCB，
∴tan∠ACB=tan（∠ACP+∠PCB）=$\frac{tan∠ACP+tan∠PCB}{1-tan∠ACPtan∠PCB}$=$\frac{2\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{5}}{1-2\sqrt{3}×\frac{3\sqrt{3}}{5}}$=-$\sqrt{3}$，
∴∠ACB=$\frac{2π}{3}$．
当点P在二面角α-l-β的外部时，如图（2），
∠ACB=∠PCB-∠ACP，
∴tan∠ACB=tan（∠ACP-∠PCB）=$\frac{tan∠ACP-tan∠PCB}{1+tan∠ACPtan∠PCB}$=$\frac{2\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{5}}{1+2\sqrt{3}×\frac{3\sqrt{3}}{5}}$=$\frac{7\sqrt{3}}{23}$，
∴∠ACB=arctan$\frac{7\sqrt{3}}{23}$．
∴二面角α-l-β的大小为$\frac{2π}{3}$或arctan$\frac{7\sqrt{3}}{23}$．

点评 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中根据二面角的定义，结合已知条件构造出∠ACB锐二面角α-l-β的平面角，是解答本题的关键．