Question

10．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$与两条渐近线交于P，Q两点，如果△PQF是等边三角形，则双曲线的离心率e的值为2．

Answer 1

分析 确定双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的两条渐近线方程，求得A，B的坐标，利用△PQF是等边三角形，由此可求双曲线的离心率的取值范围．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，x=$\frac{{a}^{2}}{c}$时，y=±$\frac{ab}{c}$，
∴P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），Q（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
∵△PQF是等边三角形，
∴$c-\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}（\frac{ab}{c}+\frac{ab}{c}）$，
∴c²-a²=$\sqrt{3}ab$，
∴b=$\sqrt{3}a$，
∴e=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．