Question

15．已知一个四面体其中五条棱的长分别为1，1，1，1，$\sqrt{2}$，则此四面体体积的最大值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{12}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{12}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由题意，四面体的一个面为直角三角形，一个侧面为等边三角形，这两个面互相垂直时，四面体体积最大．即可求出四面体体积的最大值．

解答 解：由题意，四面体的一个面为直角三角形，一个侧面为等边三角形，这两个面互相垂直时，四面体体积最大．
四面体体积的最大值是$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
故选：A．

点评 本题考查的知识点是棱锥的体积公式及其几何特征，其中根据棱锥的几何特征，分析出四面体的一个面为直角三角形，一个侧面为等边三角形，这两个面互相垂直时，四面体体积最大是解答问题的关键．