Question

4．设函数f（x）=ax²+|x-a|+b，a，b∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）单调递减，求实数a的值；
（Ⅱ）若对任意的实数b∈[0，1]及任意的x∈[-3，3]，不等式|f（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若函数f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）单调递减，根据函数的单调性建立方程关系即可求实数a的值；
（Ⅱ）结合绝对值不等式的性质，利用构造函数法进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题易知a＜0，--------------------------------------（2分）
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x-a+b=a（x+\frac{1}{2a}）^{2}-a+b-\frac{1}{4a}，}&{x≥a}\\{a{x}^{2}-x+a+b=a（x-\frac{1}{2a}）^{2}+a+b-\frac{1}{4a}}&{x＜a}\end{array}\right.$，
作出示意图，故可知-$\frac{1}{2a}=1$，所以a=-$\frac{1}{2}$；-------------------------（5分）
（Ⅱ）因为|f（x）|≤2，所以-2≤ax²+|x-a|+b≤2，
又因为对任意的实数b∈[0，1]及任意的x∈[-3，3]，上式恒成立，
所以-2≤ax²+|x-a|≤1，（*）------------------------------------（7分）
记g（x）=ax²+|x-a|，
所以$\left\{\begin{array}{l}{-2≤g（0）≤1}\\{-2≤g（3）≤1}\\{-2≤g（-3）≤1}\end{array}\right.$，可得-$\frac{1}{2}$≤a≤-$\frac{1}{5}$，-----（9分）
又（*）式可化为-ax²-2≤|x-a|≤-ax²+1，
记h₁（x）=-ax²+1，h₂（x）=-ax²-2，k（x）=|x-a|，
由-$\frac{1}{2}$≤a≤-$\frac{1}{5}$，可知，h₂（x）＜0，
所以命题转化为：只需满足以下条件
①-ax²-2=-x+a的较小根小于或等于-3，
②-ax²+1=x-a的较小根大于或等于3（或是无实根），-------（12分）

由①得$\frac{1-\sqrt{1-4a（a+2）}}{2a}$≤-3，解得$-\frac{1}{2}$≤a≤0；
由②得$\left\{\begin{array}{l}{1+4a（a+1）≥0}\\{\frac{-1+\sqrt{1+4a（a+1）}}{2a}≥3}\end{array}\right.$或1+4a（a+1）≤0，解得a=-$\frac{1}{2}$------------（14分）
综上可知a的取值范围是a=-$\frac{1}{2}$．-------------------------------------------（15分）

点评 本题主要考查函数单调性的应用以及绝对值不等式的性质，以及不等式恒成立问题，综合性较强，有一定的难度．