Question

13．已知直三棱柱底面各边的比为17：10：9，侧棱长为16cm，全面积为1440cm²，求底面各边之长．（提示：设△ABC的三边长分别为a，b，c，记p=$\frac{1}{2}$（a+b+c），则△ABC的面积S_△ABC=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$．

Answer 1

分析 设底面三边长分别为17x cm、10x cm、9x cm，由余弦定理求出长为17x的边所对的三角形内角的余弦值，从而求出直三棱柱的全面积为576x+72x²=1440，由此能求出底面各边之长．

解答 解：设底面三边长分别为17x cm、10x cm、9x cm，
S_侧=（17x+10x+9x）•16=576x．
设长为17x的边所对的三角形内角为α，
则cosα=$\frac{（10x）^{2}+（9x）^{2}-（17x）^{2}}{2×10x×9x}$=-$\frac{3}{5}$，
∴sinα=$\sqrt{1-（-\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$．
∴S_底=$\frac{1}{2}$•10x•9x•$\frac{4}{5}$=36x²．
∴576x+72x²=1440，解得x=2．
∴三边长分别为34 cm、20 cm、18 cm．

点评 本题考查直三棱柱底面各边长的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用．