Question

6．已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD．
（1）证明：平面PAC⊥平面PDB；
（2）求二面角P-AB-D的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）由菱形性质得AC⊥BD，由线面垂直得AC⊥PD，由此能证明平面PAC⊥平面PDB．
（2）由已知得AD=AB=BD=PD，取AB中点E，连结DE，PE，∠PED是二面角P-AB-D的平面角，由此能求出P-AB-D的平面角的正切值．

解答 （1）证明：连结AC，BD，交于点O，
∵四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，∴AC⊥PD，
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB，
∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PDB．
（2）解：∵四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD，
∴AD=AB=BD=PD，
设AB=2，取AB中点E，连结DE，PE，
则DE⊥AB，PE⊥AB，
∴∠PED是二面角P-AB-D的平面角，
∵PD=AB=2，DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∴tan∠PED=$\frac{PD}{DE}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴P-AB-D的平面角的正切值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的正切值的法，考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及勾股定理等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．