Question

9．已知函数f（x）=e^x，g（x）=x²-ax+1．
（Ⅰ）若函数y=f（x）+g（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 记h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，若$a∈[{0，\frac{1}{2}}]$，则当x∈[0，a+1]时，函数h（x）的图象是否总在不等式y＞x所表示的平面区域内，请写出判断过程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若函数y=f（x）+g（x）在区间[1，+∞）上单调递增，y′=e^x+2x-a≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，分离参数求最小值，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 求导数，分类讨论，确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵y=f（x）+g（x）=e^x+x²-ax+1，∴y′=e^x+2x-a
∵函数y=f（x）+g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，
∴y′=e^x+2x-a≥0在x∈[1，+∞）上恒成立．
∴a≤e^x+2x在x∈[1，+∞）上恒成立
∴a≤e+2------------------------（4分）
（Ⅱ）${h^'}（x）=\frac{{{e^x}（{x^2}-ax+1-2x+a）}}{{{{（{x^2}-ax+1）}^2}}}=\frac{{{e^x}（x-1）（x-a-1）}}{{{{（{x^2}-ax+1）}^2}}}$
①当a=0时，${h^'}（x）=\frac{{{e^x}（{x^2}+1-2x）}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}=\frac{{{e^x}{{（x-1）}^2}}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}≥0$，
所以函数h（x）在[0，1]单调递增，所以其最小值为h（0）=1，
而x在[0，1]的最大值为1，所以函数h（x）图象总在不等式y＞x所表示的平面区域内      …．（6分）
②当$a∈（{0，\frac{1}{2}}]$时，
（i）x∈[0，1]，h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）（x-a-1）}{（{x}^{2}-ax+1）^{2}}$在[0，1]恒为正，所以函数h（x）在[0，1]上单调递增，所以最小值为h（0）=1，而x∈[0，1]的最大值为1，所以函数h（x）的图象在x∈[0，1]，总在不等式y＞x所表示的平面区域内；
（ⅱ）当x∈[1，1+a]，函数h（x）在x∈[1，1+a]单调递减，所以其最小值为$h（1+a）=\frac{{{e^{a+1}}}}{a+2}$
所以下面判断h（1+a）与1+a的大小，即判断e^x与（1+x）x的大小，其中$x=1+a∈（{1，\frac{3}{2}}]$
令m（x）=e^x-（1+x）x，m′（x）=e^x-2x-1，m''（x）=e^x-2
因$x=1+a∈（{1，\frac{3}{2}}]$所以m''（x）=e^x-2＞0，m′（x）单调递增；
所以m′（1）=e-3＜0，${m^'}（\frac{3}{2}）={e^{\frac{3}{2}}}-4＞0$故存在${x_0}∈（{1，\frac{3}{2}}]$
使得${m^'}（{x_0}）={e^{x_0}}-2{x_0}-1=0$
所以m（x）在（1，x₀）上单调递减，在$（{{x_0}，\frac{3}{2}}）$单调递增
所以$m（x）≥m（{x_0}）={e^{x_0}}-{x_0}^2-{x_0}=2{x_0}+1-x_0^2-{x_0}=-x_0^2+{x_0}+1$
所以${x_0}∈（{1，\frac{3}{2}}]$时，$m（{x_0}）=-x_0^2+{x_0}+1＞0$
即e^x＞（1+x）x也即h（1+a）＞1+a
所以函数h（x）图象总在不等式y＞x所表示的平面区域内            …..（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法，考查分类讨论的数学思想，属于难题．