Question

1．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），F₁，F₂分别是它的左、右焦点，A是它的右顶点，过点F₁作一条斜率为k的直线交双曲线于异于顶点的两点M、N，若∠MAN=90°，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 由题意设出直线方程，和双曲线方程联立，化为关于x的一元二次方程，然后结合向量数量积为0得到关于e的方程，求解方程得答案．

解答 解：由题意设直线方程为y=k（x+c），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（b²-a²k²）x²-2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{{b}^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}+{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}-{b}^{2}}$．
又A（a，0），
∴$\overrightarrow{MA}=（a-{x}_{1}，-{y}_{1}），\overrightarrow{NA}=（a-{x}_{2}，-{y}_{2}）$，
由$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{NA}=（a-{x}_{1}）（a-{x}_{2}）+{y}_{1}{y}_{2}=0$，得${a}^{2}-a（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}（{x}_{1}+c）（{x}_{2}+c）=0$．
∴${a}^{2}+（{k}^{2}c-a）（{x}_{1}+{x}_{2}）+（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}{c}^{2}=0$．
则${a}^{2}+（{k}^{2}c-a）•\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{{b}^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}+（{k}^{2}+1）•\frac{{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}+{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}-{b}^{2}}$+k²c²=0．
整理得：e³-3e-2=0，∴e=2．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查了计算能力，是中档题．