Question

(本小题满分14分)

已知，函数．

（1）若函数在区间内是减函数，求实数的取值范围；

（2）求函数在区间上的最小值；

（3）对（2）中的，若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）解：∵，∴. ……………………………………1分

∵函数在区间内是减函数，∴在上恒成立．……2分

即在上恒成立，  …………………………………………………………………3分

，∴．

故实数的取值范围为．…………………………………………………………………4分

（2）解：∵，令得．…………………………5分

①若，则当时，，所以在区间上是增函数，

所以．…………………………………………………………………………6分

②若，即，则当时，，所以在区间上是增函数，

所以．…………………………………………………………………………7分

③若，即，则当时，；当时，．

所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．

所以．…………………………………………………………………8分

④若，即，则当时，，所以在区间上是减函数．

所以．……………………………………………………………………9分

综上所述，函数在区间的最小值………………10分

（3）解：由题意有两个不相等的实数解，

即（2）中函数的图像与直线有两个

不同的交点．……………………………………………11分

而直线恒过定点，

由右图知实数的取值范围是．………………14分

 

【解析】