Question

如图已知点B在以AC为直径的圆上，SA⊥面ABC，AE⊥SB于E，AF⊥SC于F．
（1）证明：SC⊥EF；
（2）若SA=a，∠ASC=，求三棱锥S-AEF的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由AC为圆的直径，点B在圆上⇒BC⊥AC．再利用SA⊥平面ABC，BC?平面ABC⇒AE⊥BC，通过线面垂直的判定定理即可证明AE⊥面SBC，从而有AE⊥SC，通过线面垂直的判定定理即可证明SC⊥面AEF，从而证明结论；（2）由（1）知AE⊥面SBC，，求出，进而求得三角形△AEF的面积
根据已知条件求得，进而求得三棱锥S-AEF的体积．
解答：解：（1）证明：．．．（6分）

（2）解：Rt△SAC中，∵
又AF⊥SC，∴F为SC的中点，∴（8分）
由（1）知AE⊥面SBC，∴
得，∴（10分）
由（1）知SC⊥面AEF，
∴（12分）
点评：此题是个中档题．考查线面垂直的判定定理和性质定理以及棱锥的体积等基础知识，同时考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．