Question

如图已知点B在以AC为直径的圆上，SA⊥面ABC，AE⊥SB于E，AF⊥SC于F．
（1）证明：SC⊥EF；
（2）若SA=a，∠ASC=

π

4

，∠AFE=

π

6

，求三棱锥S-AEF的体积．

Answer 1

分析：（1）先由AC为圆的直径，点B在圆上?BC⊥AC．再利用SA⊥平面ABC，BC?平面ABC?AE⊥BC，通过线面垂直的判定定理即可证明AE⊥面SBC，从而有AE⊥SC，通过线面垂直的判定定理即可证明SC⊥面AEF，从而证明结论；（2）由（1）知AE⊥面SBC，在Rt△AEF中，由AF=

2

2

a，∠AFE=

π

6

，求出AE=

2

4

a，EF=

6

4

a，进而求得三角形△AEF的面积
根据已知条件求得AF=SF=

2

2

a，进而求得三棱锥S-AEF的体积．

解答：解：（1）证明：

SA⊥面ABC?SA⊥BC B在以AC为直径的圆上?BC⊥AB

?BC⊥面SAB ，AE?面SAB

?BC⊥AE．

AE⊥SB BC⊥AE SB∩BC=B

?

AE⊥面SBC SC?面SBC

?AE⊥SC．

AE⊥SC AF⊥SC AE∩AF=A

?

SC⊥面AEF EF?面AEF

?SC⊥EF．（6分）

（2）解：Rt△SAC中，∵SA=a，∠ASC=

π

4

∴AC=a，SC=

2

a
又AF⊥SC，∴F为SC的中点，∴AF=SF=

2

2

a（8分）
由（1）知AE⊥面SBC，∴在Rt△AEF中，由AF=

2

2

a，∠AFE=

π

6

得AE=

2

4

a，EF=

6

4

a，∴S△AEF=

1

2

×

2

4

a×

6

4

a=

3

16

a2（10分）
由（1）知SC⊥面AEF，
∴VS-AEF=

1

3

×

3

16

a2×

2

2

a=

6

96

a3（12分）

点评：此题是个中档题．考查线面垂直的判定定理和性质定理以及棱锥的体积等基础知识，同时考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．