Question

湖南省有许多旅游景点，某同学利用寒暑假旅游了张家界、南岳、韶山、岳阳楼和桃花源等5个景点，并收藏有张家界纪念门票3张，南岳纪念门票2张，韶山、岳阳楼、桃花源纪念门票各1张，现从中随机抽取5张．
（Ⅰ）求抽取的5张门票中恰有3个或恰有4个景点的概率；
（Ⅱ）若抽取的5张门票中5个景点都有记10分，恰有4个景点记8分，恰有3个景点记6分，依此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）记抽取的5张门票中“恰有3个景点”为事件A，“恰有4个景点”为事件B，然后根据古典概型的概率公式分别求出抽取的5张门票中恰有3个与恰有4个景点的概率，因为事件A，B互斥，所以P（A+B）=P（A）+P（B），代入即可求出所求；
（Ⅱ）因为5张门票中至少含有2个景点，则ξ的可能取值为10，8，6，4．然后分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）记抽取的5张门票中“恰有3个景点”为事件A，“恰有4个景点”为事件B．
若抽取的5张门票中恰有3个景点，则至少要抽取2张张家界门票，
所以P(A)=

C 3 3 •( C 1 2 • C 1 3 + C 2 3 )+ C 2 3 • C 2 2 • C 1 3

C 5 8

=

9

28

．（2分）
若抽取的5张门票中恰有4个景点，则至多只能抽取2张张家界门票，
所以P(B)=

C 2 3 •( C 1 2 • C 2 3 + C 3 3 )+ C 1 3 • C 2 2 • C 2 3 + C 2 2 • C 3 3

C 5 8

=

31

56

．（5分）
因为事件A，B互斥，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=

9

28

+

31

56

=

49

56

=

7

8

．
故抽取的5张门票中恰有3个或恰有4个景点的概率是

7

8

．（6分）
（Ⅱ）因为5张门票中至少含有2个景点，则ξ的可能取值为10，8，6，4．（7分）
其中P(ξ=10)=

C 1 3 • C 1 2 • C 3 3

C 5 8

=

3

28

，
P(ξ=8)=P(B)=

31

56

，
P(ξ=6)=P(A)=

9

28

，
P(ξ=4)=

C 3 3 • C 2 2

C 5 8

=

1

56

．（10分）
所以ξ的分布列为

ξ	10	8	6	4
p	3 28	31 36	9 28	1 56

Eξ=10×

3

28

+8×

31

56

+6×

9

28

+4×

1

56

=

420

56

=

15

2

点评：本题主要考查了古典概型的概率公式，以及排列组合和离散型随机变量的数学期望，同时考查了分类讨论的思想和计算能力，属于中档题．