Question

（08年聊城市二模）（12分） 如图，在四棱锥P―ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是PB的中点。

   （I）求证：EC∥平面APD；

   （II）求BP与平面ABCD所成角的正切值；

   （III）求二面角P―AB―D的正切值。

 

Answer 1

解析：（I）取PA中点F，连结EF、FD，∵E是BP的中点，

∵EF∥AB且EF=AB，又∵DC∥AB，DC=AB，

∴EFDC，∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC∥FD。          …………2分

又∵EC平面PAD，FD平面PAD，

∴EC∥平面ADP。                                            …………4分

   （II）设，

∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°。如图，以D点为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过D点且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系。…………5分

平面ABCD的一个法向量为                          …………7分

所以，，

可得PB与平面ABCD所成角的正弦值为

所以PB与平面ABCD所成角的正切值为                      …………10分

   （III）易知，

设平面PAB的一个法向量为，

 

得

所以二面角P―AB―D的正切值为                           …………12分