【题目】教材曾有介绍:圆上的点
处的切线方程为
。我们将其结论推广:椭圆
上的点
处的切线方程为
,在解本题时可以直接应用。已知,直线
与椭圆
有且只有一个公共点.
(1)求的值;
(2)设为坐标原点,过椭圆
上的两点
、
分别作该椭圆的两条切线
、
,且
与
交于点
。当
变化时,求
面积的最大值;
(3)在(2)的条件下,经过点作直线
与该椭圆
交于
、
两点,在线段
上存在点
,使
成立,试问:点
是否在直线
上,请说明理由.
【答案】(1)(2)
(3)见解析
【解析】
(1)将直线y=x代入椭圆方程,得到x的方程,由直线和椭圆相切的条件:判别式为0,解方程可得a的值;(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),可得切线
,
,
,再将M代入上式,结合两点确定一条直线,可得切点弦方程,AB的方程为x+my=1,将直线与椭圆方程联立,运用韦达定理,求得△OAB的面积,化简整理,运用基本不等式即可得到所求最大值;(3)点
在直线
上,因为
设、
、
,且
,于是
,向量坐标化,得
、
、
、
,将
代入椭圆方程,结合
、
在椭圆上,整理化简得
,即
在直线
上.
(1)联立,整理得
依题意,即
(2)设、
,于是直线
、
的方程分别为
、
将代入
、
的方程得
且
所以直线的方程为
联立
显然,由
,
是该方程的两个实根,有
,
面积
即
当且仅当时,“=”成立,
取得最大值
(3)点在直线
上,因为
设、
、
,且
于是,即
、
、
、
又,
,
,即
在直线
上.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F分别在线段BC,AD上,EF∥AB,将矩形ABEF沿EF折起,记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.
(1)在线段BC是否存在一点E,使得ND⊥FC ,若存在,求出EC的长并证明;
若不存在,请说明理由.
(2)求四面体NEFD体积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】槟榔原产于马来西亚,中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区,在亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材,在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品,但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解,
两个少数民族班学生咀嚼槟榔的情况,分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查,将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字).
(1)你能否估计哪个班级学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多?
(2)从班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为
,从
班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为
,求
的概率;
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【题目】槟榔原产于马来西亚,中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区,在亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材,在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品,但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解,
两个少数民族班学生咀嚼槟榔的情况,分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查,将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字).
(1)从班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为
,从
班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为
,求
的概率;
(2)从所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上(包含20颗)的同学中随机抽取3人,求被抽到班同学人数的分布列和数学期望.
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【题目】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”,如
.现从不超过
的素数中,随机选取两个不同的数(两个数无序).(注:不超过
的素数有
,
,
,
,
,
)
(1)列举出满足条件的所有基本事件;
(2)求“选取的两个数之和等于”事件发生的概率.
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【题目】一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图231所示.
图231
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).
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【题目】已知点为椭圆
上任意一点,直线
与圆
交于
两点,点
为椭圆
的左焦点.
(Ⅰ)求椭圆的离心率及左焦点
的坐标;
(Ⅱ)求证:直线与椭圆
相切;
(Ⅲ)判断是否为定值,并说明理由.
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【题目】如果数列对于任意
,都有
,其中
为常数,则称数列
是“间等差数列”,
为“间公差”.若数列
满足
,
,
.
(1)求证:数列是“间等差数列”,并求间公差
;
(2)设为数列
的前n项和,若
的最小值为-153,求实数
的取值范围;
(3)类似地:非零数列对于任意
,都有
,其中
为常数,则称数列
是“间等比数列”,
为“间公比”.已知数列
中,满足
,
,
,试问数列
是否为“间等比数列”,若是,求最大的整数
使得对于任意
,都有
;若不是,说明理由.
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