Question

在由三条直线x-y+2=0，x+y-4=0，x+2y+1=0围成的三角形内求一点，使其到三直线的距离相等．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,两直线的夹角与到角问题

专题：直线与圆

分析：首先根据三条直线x-y+2=0，x+y-4=0，x+2y+1=0围成的三角形内求一点，使其到三直线的距离相等则：该点在围成的三角形的角平分线上，进一步利用到角公式

k+ 1 2

1- 1 2 k

=

1-k

1+k

求得斜率k，然后利用

x-y+2=0 x+2y+1=0

求出交点坐标，进一步求出直线方程则：y+

1

3

=（3-

10

）（x+

5

3

）同理得到：x-y+2=0与x+y-4=0的角平分线方程x=1，进一步求出交点坐标．

解答： 解：三条直线x-y+2=0，x+y-4=0，x+2y+1=0围成的三角形内求一点，使其到三直线的距离相等
则：该点在围成的三角形的角平分线上
设直线x-y+2=0与直线x+2y+1=0的角平分线的斜率为k则：
利用到角公式：

k+ 1 2

1- 1 2 k

=

1-k

1+k

解得：k=3±

10

（正值舍去）
建立方程组：

x-y+2=0 x+2y+1=0

解得

x=- 5 3 y=- 1 3

则：得到直线：y+

1

3

=（3-

10

）（x+

5

3

）①
同理：直线x-y+2=0和直线x+y-4=0的角平分线方程为：x=1②
由①②建立方程组得：

y+ 1 3 =(3- 10 )(x+ 5 3 ) x=1

解得交点坐标为：

x=1 y= 23-8 10 3

故答案为：(1，

23-8 10

3

)

点评：本题考查的知识要点：直线的交点，到角公式的应用，点斜式直线方程及相关的运算问题．