Question

已知数列{a_n}（n∈N₊），a₁=0，a_n+1=2a_n+n×2ⁿ（n≥1）．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试用数学归纳法证明S_n=2^n-1×（n²-3n+4）-2．

Answer 1

解：（1）由a_n+1=2a_n+n×2ⁿ得a_n=2a_n-1+（n-1）×2^n-1，
a_n-1=2a_n-2+（n-2）×2^n-2（1分），
2a_n-1=2²a_n-2+（n-2）×2^n-1（3分），…，2^n-2a₂=2^n-1a₁+1×2^n-1，
累加得a_n=[（n-1）+（n-2）+…+1]×2^n-1=2^n-2×n（n-1）（5分）．
（2）n=1时，左边S₁=a₁=0，
右边2^n-1×（n²-3n+4）-2=1×（1-3+4）-2=0，
左边=右边，命题成立（7分）；
设n=k（k∈N₊）时，命题成立，
即S_k=2^k-1×（k²-3k+4）-2（8分），
则S_k+1=S_k+a_k+1（9分），
=2^k-1×（k²-3k+4）-2+2^k-1×k（k+1）=2^k（k²-k+2）-22^k×[（k+1）²-3（k+1）+4]-2，
从而n=k+1时，命题成立（11分）．
综上所述，数列a_n的前n项和S_n=2^n-1×（n²-3n+4）-2（12分）．
分析：（1）由a_n+1=2a_n+n×2ⁿ，知a_n=2a_n-1+（n-1）×2^n-1，a_n-1=2a_n-2+（n-2）×2^n-2，2a_n-1=2²a_n-2+（n-2）×2^n-1（3分），…，2^n-2a₂=2^n-1a₁+1×2^n-1，累加得a_n．
（2）n=1时，左边=右边，命题成立；设n=k（k∈N₊）时，命题成立，即S_k=2^k-1×（k²-3k+4）-2（8分），则S_k+1=S_k+a_k+1=2^k-1×（k²-3k+4）-2+2^k-1×k（k+1）=2^k（k²-k+2）-22^k×[（k+1）²-3（k+1）+4]-2，从而n=k+1时，命题成立．综上所述，数列a_n的前n项和S_n=2^n-1×（n²-3n+4）-2．
点评：第（1）题考查求数列{a_n}的通项的方法，解题时要注意累加法的应用；第（2）题考查数列前n项和的证明，解题时要注意数学归纳法的证明过程．