Question

一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球，要从中摸出两个球．
（Ⅰ）采取放回抽取方式，求摸出两球颜色恰好不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽取方式，记摸得白球的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求它的期望和方差．（方差Dξ=

n

i=1

pi•(ξi-Eξ)2）

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法一：利用古典概型概率公式求解；解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验，利用公式，可得结论；
（II）确定ξ的取值，求出相应的概率，即可求得它的期望和方差．

解答：（Ⅰ）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，
记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件A，…（2分）
∵“两球恰好颜色不同”共2×4+4×2=16种可能，…（4分）
∴P(A)=

16

6×6

=

4

9

．               …（6分）
解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验，…（2分）
∵每次摸出一球得白球的概率为P=

2

6

=

1

3

．           …（4分）
∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为P2(1)=

C

1 2

•p•(1-p)=

4

9

．      …（6分）
（Ⅱ）设摸得白球的个数为ξ，依题意得：
∵P(ξ=0)=

4

6

×

3

5

=

2

5

，P(ξ=1)=

4

6

×

2

5

+

2

6

×

4

5

=

8

15

，P(ξ=2)=

2

6

×

1

5

=

1

15

．…（9分）
∴它的分布列为

ξ	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

∴Eξ=0×

1

2

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

，…（12分）Dξ=(0-

2

3

)2×

2

5

+(1-

2

3

)2×

8

15

+(2-

2

3

)2×

1

15

=

16

45

．           …（14分）

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生的计算能力，属于中档题．