Question

（2013•嘉定区一模）设a、b∈R，且a≠-2，若定义在区间（-b，b）内的函数f(x)=lg

1+ax

1-2x

是奇函数，则a^b的取值范围是

(1 ， 

2

]

．

Answer 1

分析：由定义在区间（-b，b）上的函数f(x)=lg

1+ax

1-2x

是奇函数，可得a的值以及b的取值范围，进而可得可求a^b的取值范围．

解答：解：∵定义在区间（-b，b）上的函数f(x)=lg

1+ax

1-2x

是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，即lg

1-ax

1+2x

+lg

1+ax

1-2x

=0，
∴lg（

1-ax

1+2x

×

1+ax

1-2x

）=0，∴1-a²x²=1-4x²
∵a≠-2，∴a=2，∴f（x）=lg

1+2x

1-2x

，
令

1+2x

1-2x

＞0，可得-

1

2

＜x＜

1

2

，∴0＜b≤

1

2

，
∵a=2，∴a^b的取值范围是（1，

2

]，
故答案为：(1 ， 

2

]

点评：本题考查函数的性质，以及指数函数的单调性，解题的关键是确定a的值及b的取值范围，属中档题．