Question

11．已知函数f（x）=ax²+xlnx+x．
（1）若a=1，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2））若a=-e，证明：方程$|{f（x）}|-lnx=\frac{1}{2}x$无解．

Answer 1

分析 （1）求得a=1时f（x）的导数，求出切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到所求切线方程；
（2）由题意可得|-ex+lnx+1|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$，设g（x）=-ex+lnx+1，求得导数和单调区间，可得g（x）＞1；设h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$，x∈（0，+∞），求得导数，单调区间，可得h（x）_max=h（e）=$\frac{lne}{e}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{2}$＜1，即可得证．

解答 （1）解：依题意，函数f（x）=x²+xlnx+x，
f′（x）=2x+lnx+2，…（2分）
故f′（1）=2+ln1+2=4，f（1）=1+ln1+1=2，
则函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-2=4（x-1），
即y=4x-2．…（4分）
（2）证明：依题意，|-ex²+xlnx+x|=lnx+$\frac{1}{2}$x，即|-ex+lnx+1|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$．
设g（x）=-ex+lnx+1，g′（x）=$\frac{-ex+1}{x}$，
g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上递增，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上递减，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{e}$）=-e•$\frac{1}{e}$+ln$\frac{1}{e}$+1=-1，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{e}$）=-1，
∴g（x）＜-1．…（8分）
设h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$，x∈（0，+∞）
则h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$．
h（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，
h（x）_max=h（e）=$\frac{lne}{e}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{2}$＜1，
即|g（x）|＞h（x），
故方程$|{f（x）}|-lnx=\frac{1}{2}x$无解．…（12分）

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、最值，考查函数方程的转化思想，以及构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．