Question

已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=

3

2

accosB．
（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；
（2）若a=2，且A=

π

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）法一：根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小；法二：根据余弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小．
（2）根据正弦定理求出c的大小，根据三角形的面积公式即可求△ABC的面积．

解答： 解：由已知及三角形面积公式得S=

1

2

acsinB=

3

2

accosB，
 化简得sinB=

3

cosB，
即tanB=

3

，又0＜B＜π，∴B=

π

3

．
（1）解法1：由c=2a，及正弦定理得，sinC=2sinA，
又∵A+C=

2π

3

，
∴sin（

2π

3

-A）=2sinA，
化简可得tanA=

3

3

，而0＜A＜

2π

3

，
∴A=

π

3

，C=

π

2

．
解法2：由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB=a²+4a²-2a²=3a²，
∴b=

3

a，
∴a：b：c=1：

3

：2，知A=

π

3

，C=

π

2

．
（2）由A=

π

3

，B=

π

3

．可得△ABC为正三角形，又a=2，
∴S△ABC=

3

2

accosB=

3

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握相应的定理以及三角形的面积公式．