Question

17．设函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx，若对任意x∈R恒有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值为π．

Answer 1

分析 由题意可得f（x₁）为函数的最小值，f（x₂）为函数的最大值，故|x₂-x₁|的最小值为半个周期，再根据正弦函数的周期性可得结论．

解答 解：∵f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∴T=$\frac{2π}{1}$=2π，
∵若f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），对?x∈R成立，
∴可得f（x₁）为函数的最小值，f（x₂）为函数的最大值，
故|x₁-x₂|的最小值为半个周期，即$\frac{1}{2}$T=π．
故答案为：π．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性和值域，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．