Question

8．己知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=1，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足关系：|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$|，k＞0，设$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=f（k）
（Ⅰ）求f（k）的解析式；
（Ⅱ）$\overrightarrow a$能否和$\overrightarrow b$垂直？$\overrightarrow a$能否和$\overrightarrow b$平行？若不能，则说明理由；若能，则求出k值．

Answer 1

分析 （1）由|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=1，且k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$|，k＞0，两边平方化简可得化简可得4k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2k²+2，从而可求f（k）；
（2）若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，即有$\frac{1}{2}$（k+$\frac{1}{k}$）=0是否有解，来判断$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$是否垂直；若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|．即$\frac{1}{2}$（k+$\frac{1}{k}$）=1，解方程即可判断．

解答 解：（1）由|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=1，且|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$|，k＞0，
所以（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=3（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）²，
化简可得4k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2k²+2，
由f（k）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，可得
f（k）=$\frac{1}{2}$（k+$\frac{1}{k}$）；
（2）若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，
则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，即有$\frac{1}{2}$（k+$\frac{1}{k}$）=0无解，
因此$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$不可能垂直；
若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|．
即$\frac{1}{2}$（k+$\frac{1}{k}$）=1，
解得k=1，
综上，$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$不可能垂直；
当$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$平行时，k=1．

点评 本题考查了平面向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，同时考查了平面向量的垂直与平行的坐标表示：$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$?x₁x₂+y₁y₂=0；$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$?x₁y₂-x₂y₁=0，考查运算能力，属于中档题．