Question

已知函数f（x）=

1

3

ax³-bx²+（2-b）x+1（a，b是实数，a≠0）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且0＜x₁＜1＜x₂＜2．
（1）求证：0＜a＜2b＜3a：
（2）若函数g（x）=f′（x）-2+a-2b．设g（x）的零点为α，β，求|α-β|的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）由极值和导数的关系，以及单调性和导数的关系得到a＞0，再由二次函数的性质可得f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，即可得证；
（2）求出g（x）的表达式，运用韦达定理，求出|α-β|的表达式，配方再由（1）的结论，即可得到．

解答： （1）证明：由题意f'（x）=ax²-2bx+（2-b），
f'（x）=0的根为x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，
且f（x）在区间（-∞，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，即f'（x）＞0，
f（x）在（x₁，x₂）上单调递减，即f'（x）＜0，
所以a＞0，
所以

f′(0)=2-b＞0 f′(1)=a-3b+2＜0 f′(2)=4a-5b+2＞0

?

1

2

＜

b

a

＜

3

2

，
又a＞0，所以0＜a＜2b＜3a；
（2）解：函数g（x）=f'（x）-2+a-2b．设g（x）的零点为α，β，
即有g（x）=ax²-2bx+a-3b，α+β=

2b

a

，αβ=

a-3b

a

，
则|α-β|=

2 b2+3ab-a2

|a|

=2

( b a )2+3× b a -1

，
由（1）知

1

2

＜

b

a

＜

3

2

∴|α-β|∈(

3，

23

)．

点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查函数和方程的转换思想方法，注意运用二次函数的性质解决，属于中档题．