Question

已知

AB

=(2，2，1)，

AC

=(4，5，3)，则平面ABC的单位法向量为

 

．

Answer 1

分析：设平面ABC的单位法向量为

a

=（x，y，z），根据垂直的两个向量数量积为0，可建立关于x、y、z的两个方程．再结合单位向量模的公式，得到第三个方程，最后联解可得这个单位法向量的坐标．

解答：解：设平面ABC的单位法向量为

a

=（x，y，z）
∵

a

⊥

AB

，∴

a

•

AB

=2x+2y+z=0…①
同理，

a

•

AC

=4x+5y+3z=0…②
因为

a

是单位向量，所以

|a|

=

x2+y2+z2

=1…③
联解①②③，得x=

1

3

，y=-

2

3

，z=

2

3

或x=-

1

3

，y=

2

3

，z=-

2

3

∴

a

=（

1

3

，-

2

3

，

2

3

）或

a

=（-

1

3

，

2

3

，-

2

3

）
故答案为：（

1

3

，-

2

3

，

2

3

）或（-

1

3

，

2

3

，-

2

3

）

点评：本题给出平面内两个已知向量的坐标，要我们求该平面的单位法向量坐标，着重考查了空间两个向量垂直的坐标运算和向量模的公式等知识，属于基础题．