Question

（08年崇文区统一练习一）（14分）

如图，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中点.

   （I）求AC₁与平面B₁BCC₁所成角的正切值；

   （II）求证：AC₁∥平面B₁DC；

   （III）已知E是A₁B₁的中点，点P为一动点，记PB₁=x. 点P从E出发，沿着三棱柱的棱，按照E→A₁→A的路线运动到点A，求这一过程中三棱锥P―BCC₁的体积表达式V（x）.

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（I）∵直三棱柱ABC―A₁B₁C₁，∴B₁B⊥面ABC，

       ∴B₁B⊥AB. 又∵AB⊥BC，∴AB⊥面BCC­₁B_­1.…………2分

       连结BC₁，则∠AC₁B为AC₁与平面B₁BCC₁所成角.……3分

       依题设知，BC₁=2，在Rt△ABC₁中，

       …………5分

  

 

（II）如图，连结DF，在△ABC₁中，∵D、F分别为AB、BC₁，

       的中点，

       ∴DF∥AC₁，又∵DF平面B₁DC，AC₁­平面B₁DC，

       ∴AC₁∥平面B₁DC.………………………………10分

   （III）PB₁=x，

       当点P从E点出发到A₁点，即时，由（1）同理可证PB₁⊥面BB₁C₁C，

      

       当点P从A₁点运动到A点，即时，.

       ∴三棱锥P―BCC₁的体积表达式………………14分