Question

（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于，两点，且点的坐标为，点是椭圆上异于点,的任意一点，点满足，，且，，三点不共线.

（1）求椭圆的方程；

（2）求点的轨迹方程；

（3）求面积的最大值及此时点的坐标.

Answer 1

（1）；（2），除去四个点，，，；（3），点的坐标为或.

【解析】

试题分析：（1）由双曲线的顶点得椭圆的焦点，由椭圆的定义得的值，利用即可得椭圆的方程；（2）设点，先写出，，，的坐标，再根据已知条件可得，，代入，化简，即可得点的轨迹方程；（3）先计算的面积，利用基本不等式即可得的面积的最大值.

试题解析：（1）解法1： ∵ 双曲线的顶点为,, 1分

∴ 椭圆两焦点分别为,.

设椭圆方程为，

∵ 椭圆过点，

∴ ，得. 2分

∴ . 3分

∴ 椭圆的方程为 . 4分

解法2: ∵ 双曲线的顶点为,, 1分

∴ 椭圆两焦点分别为,.

设椭圆方程为，

∵ 椭圆过点，

∴ . ① 2分

∵ , ② 3分

由①②解得, .

∴ 椭圆的方程为 . 4分

（2）解法1：设点，点，

由及椭圆关于原点对称可得，

∴，，，.

由 , 得 ， 5分

即 . ①

同理, 由, 得 . ② 6分

①②得 . ③ 7分

由于点在椭圆上, 则，得,

代入③式得 .

当时，有，

当，则点或,此时点对应的坐标分别为或 ，其坐标也满足方程. 8分

当点与点重合时，即点，由②得 ，

解方程组 得点的坐标为或.

同理, 当点与点重合时，可得点的坐标为或.

∴点的轨迹方程为 , 除去四个点,, ,. 9分

解法2：设点，点，

由及椭圆关于原点对称可得，

∵，，

∴，.

∴，① 5分

. ② 6分

①② 得 . (*) 7分

∵ 点在椭圆上, ∴ ，得,

代入(*)式得，即,

化简得 .

若点或, 此时点对应的坐标分别为或 ，其坐标也满足方程. 8分

当点与点重合时，即点，由②得 ，

解方程组 得点的坐标为或.

同理, 当点与点重合时，可得点的坐标为或.

∴点的轨迹方程为 , 除去四个点,, ,. 9分

(3) 解法１：点到直线的距离为.

△的面积为 10分

. 11分

而（当且仅当时等号成立）

∴. 12分

当且仅当时, 等号成立.

由解得或 13分

∴△的面积最大值为, 此时,点的坐标为或. 14分

解法２：由于，

故当点到直线的距离最大时，△的面积最大． 10分

设与直线平行的直线为，

由消去，得，

由，解得． 11分

若，则，；若，则，． 12分

故当点的坐标为或时，△的面积最大，其值为

． 14分

考点：1、椭圆的方程；2、双曲线的方程；3、直线与圆锥曲线；4、基本不等式；5、三角形的面积；6、动点的轨迹方程.

考点分析： 考点1：椭圆的标准方程 考点2：椭圆的几何性质 试题属性

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