Question

在△ABC中，已知．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）求AB边的长；
（3）若，求△ABC的面积．

Answer 1

解：（1）∵
∴||•||cos（π-A）=||•||cos（π-B）
可得||cosA=||cosB，即bcosA=acosB
根据正弦定理，得sinBcosA=sinAcosB，
∴sin（A-B）=0，结合A-B∈（0，π）得A-B=0
因此A=B，得△ABC是以AB为底边的等腰三角形；
（2）过C作CD⊥AB于D
∵△ABC中，CA=CB，∴D为AB中点
由此可得=-||•||cosA=-1
即-||•||•=-1，得-||²=-1
∴||²=2，得||=，即AB边的长为；
（3）取BC中点E，连接AE
∵，，∴||=
设AC=BC=x，得（2AE）²+x²=2（x²+AB²）
即6+x²=2（x²+2），解得x=，可得△ABC是边长等于的等边三角形，
∴△ABC的面积S=×（）²=．
分析：（1）根据向量数量积公式，化简已知等式可得||cosA=||cosB，结合正弦定理得sin（A-B）=0，从而得到A=B，得△ABC是以AB为底边的等腰三角形；
（2）过C作CD⊥AB于D，由直角三角形三角函数的定义，结合=-1化简可得-||²=-1，从而算出||=，得到AB边的长；
（3）取BC中点E，连接AE，可得中线AE的长为，设AC=BC=x，利用三角形中线满足的平方关系列式，得6+x²=2（x²+2），解得x=，得△ABC是边长等于的等边三角形，从而得到△ABC的面积S=．
点评：本题给出等腰三角形满足的向量关系式，求它的底边之长并在已知腰上中线长的情况下求三角形的面积，着重考查了正、余弦定理解三角形和向量的数量积在几何中的应用等知识，属于中档题．