Question

用数学归纳法证明：当n为正整数时，1³+2³+3³+…+n³=

n2(n+1)2

4

．

Answer 1

分析：用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答：证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=

12×22

4

=1，
∴等式成立…2分
（2）假设当n=k时，等时成立，即1³+2³+3³+…+k³=

k2(k+1)2

4

…4分
那么，当n=k+1时，有1³+2³+3³+…+k³+（k+1）³=

k2(k+1)2

4

+（k+1）³…6分
=（k+1）²•（

k2

4

+k+1）
=（k+1）²•

k2+4k+4

4

=

(k+1)2(k+2)2

4

=

(k+1)2[(k+1)+1]2

4

…8分
这就是说，当n=k+1时，等式也成立…9分
根据（1）和（2），可知对n∈N^*等式成立…10分

点评：本题考查数学归纳法，用好归纳假设是关键，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题．