Question

已知m，n为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知(1-

1

n+3

)n＜

1

2

，求证(1-

m

n+3

)n＜(

1

2

)m，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整数n．

Answer 1

分析：解法一：（Ⅰ）直接利用用数学归纳法证明的证明方法证明即可；
（Ⅱ）对于n≥6，已知(1-

1

n+3

)n＜

1

2

，利用指数函数的性质以及放缩法证(1-

m

n+3

)n＜(

1

2

)m，m=1，2…，n；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，以及验证n=1，2，3，4，5时等式是否成立，即可求出满足等式3ⁿ+4^m+…+（n+2）^m=（n+3）ⁿ的所有正整数n．
解法二：：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明．
（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）利用反证法证明当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．验证同解法一．

解答：解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：
当x=0时，（1+x）^m≥1+mx；即1≥1成立，
x≠0时，证：用数学归纳法证明：
（ⅰ）当m=1时，原不等式成立；
当m=2时，左边=1+2x+x²，右边=1+2x，
因为x²≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）^k≥1+kx，
则当m=k+1时，∵x＞-1，
∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）^k≥1+kx两边同乘以1+x得
（1+x）^k•（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx²≥1+（k+1）x，
所以（1+x）^k+1≥1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立．
（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，由（Ⅰ）得(1-

1

n+3

)m≥1-

m

n+3

＞0，
于是(1-

m

n+3

)n≤(1-

1

n+3

)nm=[(1-

1

n+3

)n]m＜(

1

2

)m，m=1，2，n．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当n≥6时，(1-

1

n+3

)n+(1-

2

n+3

)n+…+(1-

n

n+3

)n＜

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n=1-

1

2n

＜1，
∴(

n+2

n+3

)n+(

n+1

n+3

)n+…+(

3

n+3

)n＜1．
即3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ＜（n+3）ⁿ．即当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．
故只需要讨论n=1，2，3，4，5的情形：
当n=1时，3≠4，等式不成立；
当n=2时，3²+4²=5²，等式成立；
当n=3时，3³+4³+5³=6³，等式成立；
当n=4时，3⁴+4⁴+5⁴+6⁴为偶数，而7⁴为奇数，故3⁴+4⁴+5⁴+6⁴≠7⁴，等式不成立；
当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立．
综上，所求的n只有n=2，3．
解法2：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当x＞-1，且x≠0时，m≥2，（1+x）^m＞1+mx． ①
（ⅰ）当m=2时，左边=1+2x+x²，右边=1+2x，因为x≠0，所以x²＞0，即左边＞右边，不等式①成立；
（ⅱ）假设当m=k（k≥2）时，不等式①成立，即（1+x）^k＞1+kx，则当m=k+1时，
因为x＞-1，所以1+x＞0．又因为x≠0，k≥2，所以kx²＞0．
于是在不等式（1+x）^k＞1+kx两边同乘以1+x得（1+x）^k•（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx²＞1+（k+1）x，
所以（1+x）^k+1＞1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式①也成立．
综上所述，所证不等式成立．
（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，∵(1-

1

n+3

)n＜

1

2

，
∴[(1-

1

n+3

)m]n＜(

1

2

)m，
而由（Ⅰ），(1-

1

n+3

)m≥1-

m

n+3

＞0，
∴(1-

m

n+3

)n≤[(1-

1

n+3

)m]n＜(

1

2

)m．
（Ⅲ）解：假设存在正整数n₀≥6使等式3n0+4n0+…+(n0+2)n0=(n0+3)n0成立，
即有(

3

n0+3

)n0+(

4

n0+3

)n0+…+(

n0+2

n0+3

)n0=1． ②
又由（Ⅱ）可得(

3

n0+3

)n0+(

4

n0+3

)n0+…+(

n0+2

n0+3

)n0
=(1-

n0

n0+3

)n0+(1-

n0-1

n0+3

)n0+…+(1-

1

n0+3

)n0＜(

1

2

)n0+(

1

2

)n0-1+…+

1

2

=1-

1

2n0

＜1，与②式矛盾．
故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．
下同解法1．

点评：本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．注意放缩法的应用．