Question

在数列{a_n}中，S_n为其前n项和，．
（I）求证：a₂，a₃，a₄，…，a_n为等比数列；
（II）设b_n=na_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求T_n的值．

Answer 1

解：（I）由已知，a₁=1，a_n+1=3S_n=S_n+1-S_n得4S_n=S_n+1，
所以，即{S_n}是首项为1，公比为4的等比数列，
所以S_n=1×4^n-1=4^n-1_，
又由公式，
得到a_n=．
故当n≥2时，，
∴a₂，a₃，a₄，…，a_n为等比数列．
（II）∵b_n=na_n=，
∴当n=1时，T_n=1；
∴当n≥2时，
T_n=1+6×4⁰+9×4¹+…+3n×4^n-2
∴4T_n=4+6×4¹+9×4²+…+3n×4^n-1，
两式相减得-3T_n=3+3•4¹+3•4²+…+3•4^n-2-3n×4^n-1
∴T_n=[（3n-1）×4^n-1+1]，
又当n=1时，T₁=1也适合上式，
故T_n=[（3n-1）×4^n-1+1]，（n∈N^*）．
分析：（I）这是一道典型的含有a_n+1，S_n的递推公式来求通项公式的题目，利用公式，本题是先求出S_n，再由S_n求出a_n，要注意对n=1和n≥2进行讨论．最后证明从第二项开始是等比数列；
（II）求出b_n，据其特点是由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成，利用错位相减法求出数列的前n项和．
点评：本题属于基础题目，运算上较为容易，另外需注意求出S_n之后，只要注意讨论n=1和n≥2的情形，进一步求出{a_n}的通项公式，用到的思想方法是分段讨论法．（II）求数列的前n项和，首先求出数列的通项，根据数列通项的特点，选择合适的求和方法．