Question

已知F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，

2

2

）在椭圆上，且

PF1

•

F1F2

=0，⊙O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B：
（I）求椭圆的标准方程；    
（II）当OA•OB=

2

3

时，求k的值．

Answer 1

分析：（I）由

PF1

•

F1F2

=0，知PF₁⊥F₁F₂，由点P（-1，

2

2

）在椭圆上，知c=1，

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=b²+c²，由此能求出椭圆的方程．
（II）由直线l：y=kx+m与⊙O：x²+y²=1相切，解得m²=k²+1，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，再由直线l与椭圆交于不同的两点A，B，能求出k的值．

解答：（本题满分14分）
解：（I）∵

PF1

•

F1F2

=0，
∴PF₁⊥F₁F₂，
∵F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，点P（-1，

2

2

）在椭圆上，
∴c=1，

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=b²+c²，
解得a²=2，b²=1，c²=1，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（II）∵直线l：y=kx+m与⊙O：x²+y²=1相切，
∴

|m|

k2+1

=1，解得m²=k²+1，
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，…（8分）
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

m2-2k2

1+2k2

=

1-k2

1+2k2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

1+k2

1+2k2

=

2

3

，
∴k=±1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．