Question

设函数f（x）=e^x，g（x）=x²+4x+5，g（x）的导函数为g'（x）（e为自然对数底数）．
（Ⅰ）若函数y=

f(2x)

e

-ag'（x）+4a有最小值0，求实数a的值；
（Ⅱ）记h（x）=f（x+2n）-ng（x）（n为常数），若存在唯一实数x₀，同时满足：（i）x₀是函数h（x）的零点；（ii）h′（x₀）=0．试确定x₀、n的值，并证明函数h（x）在R上为增函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出y的表达式，利用求导数方法研究其单调性，确定最小值，令其为0，解方程求出参数值．
（Ⅱ）：（i）x₀是函数h（x）的零点；（ii）h′（x₀）=0这两个条件给出了两个方程，利用此两方程即可解出x₀、n的值，由此求出函数h（x）的解析式，再利用导数为正，证明其是增函数．

解答：解（Ⅰ）∵y=

f(2x)

e

-ag′(x)+4a=e2x-1-2ax，∴y′=2e2x-1-2a，
当a≤0时，y'＞0，函数在R上为增函数，故没有最小值，∴a＞0（2分）
此时由2e^2x-1-2a=0得：x=

1

2

（lna+1），且x＞

1

2

（lna+1）时，y'＞0
x＜x＞

1

2

（lna+1）时，y'＜0，
∴x∈（-∞，

1

2

（lna+1））时，函数为减函数，
x∈（

1

2

（lna+1），+∞）时，函数为增函数，
∴ymin=a-2a•

1

2

(lna+1)=-alna，∵ymin=0，∴a=1(6分)
（Ⅱ）∵h（x）=e^x+2n-n（x²+4x+5），∴h'（x）=e^x+2n-2nx-4n，
∵

{	h(x0)=0 h′(x0)=0

，

{	ex0+2n=2nx0+4n(1) ex0+2n=nx02+4nx0+5n(2)

，
∴nx₀²+4nx₀+5n=2nx₀+4n由（1）知n≠0，∴2x₀+4=x₀²+4x₀+5，∴（x₀+1）²=0∴x₀=-1（9分）
代入（1）有e^2n-1-2n=0，由第（I）小题知，A、=1时，函数y=e2x-1-2ax=e2x-1-2x有最小值0，且当x=

1

2

(lna+1)=

1

2

取到最小值0∴方程e2n-1-2n=0有唯一解n=

1

2

，∴x0=-1，n=

1

2

(11分)∵h(x)=ex+1-

1

2

(x2+4x+5)，∴设R(x)=h′(x)=ex+1-x-2，R'（x）=e^x+1-1，（12分）
∴x≥-1时，R'（x）≥0，x＜-1时，R'（x）＜0x=-1时，R（x）_min=0，∴x∈R，R（x）≥0，仅当x=-1时R（x）=0∴h'（x）≥0在R上恒成立，且仅当x=-1时h'（x）=0，∴h（x）在R上为增函数（14分）

点评：考查利用导数研究函数的单调性求最值，本题运算量较大，繁琐．