Question

当-π≤x≤π时，函数f（x）满足2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x，则f（x）是（　　）

• A、奇函数
• B、偶函数
• C、非奇非偶函数
• D、既奇又偶函数

Answer 1

分析：欲判断函数的奇偶性，只须验证f（-x）与f（x）的关系，故必须先由条件求得f（x）的解析式，考虑到将sinx看成整体，利用二倍角公式进行转换，即可达到目的．

解答：解：当-

1

2

π≤x≤

1

2

π时，cosx=

1-sin 2x

，
∴2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x
即：2f（-sinx）+3f（sinx）=2sinxcosx
设t=sinx，则2f（-t）+3f（t）=2t

1-t2

，①
从而：2f（t）+3f（-t）=-2t

1-t2

，②
由①②得：f（t）=2t

1-t2

，
当

1

2

π≤x≤π时，cosx=-

1-sin 2x

，
∴2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x
即：2f（-sinx）+3f（sinx）=2sinxcosx
设t=sinx，则2f（-t）+3f（t）=-2t

1-t2

，
从而：2f（t）+3f（-t）=2t

1-t2

，
得：f（t）=-2t

1-t2

，
当-π≤x≤-

1

2

π时，cosx=-

1-sin 2x

，
∴2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x
即：2f（-sinx）+3f（sinx）=2sinxcosx
设t=sinx，则2f（-t）+3f（t）=-2t

1-t2

，
从而：2f（t）+3f（-t）=2t

1-t2

，
得：f（t）=-2t

1-t2

，
∴当-π≤x≤π时，函数f（x）满足f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数．
故选A

点评：本小题主要考查函数奇偶性的判断、函数奇偶性的应用、函数解析式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．