Question

在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x²+y²-4x+2=0的圆心.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l₁，l₂.当直线l₁，l₂都与圆C相切时，求P的坐标.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ），或，或，或.

（Ⅰ）由，得.故圆Ｃ的圆心为点
从而可设椭圆Ｅ的方程为其焦距为，由题设知
故椭圆Ｅ的方程为：
（Ⅱ）设点的坐标为，的斜分率分别为则的方程分别为且由与圆相切，得，即
同理可得.
从而是方程的两个实根，于是
　　　　　　　①
且
由得解得或
由得由得它们满足①式，故点Ｐ的坐标为
，或，或，或.
【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出即得椭圆E的方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为，得出关于点P坐标的一个方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标.