Question

12．（理）如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=∠A₁AC=60°，平面AA₁CC₁⊥平面ABCD．
（1）证明：BD⊥AA₁；
（2）求二面角D-AA₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BD⊥AC，从而BD⊥平面AA₁CC₁，由此能证明BD⊥AA₁．
（2）令BD∩AC=O，连结A₁O，分别以BD，AC，OA₁所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-AA₁-C的余弦值．

解答 证明：（1）由条件知四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
而平面AA₁CC₁⊥平面ABCD，平面AA₁CC₁∩平面ABCD=AC，
所以BD⊥平面AA₁CC₁，
又AA₁?平面AA₁CC₁，
因此BD⊥AA₁．
解：（2）因为∠ABC=60°，ABCD是菱形，所以AC=AB=AA₁，
而∠A₁AC=60°，所以△A₁AC是正三角形．令BD∩AC=O，
连结A₁O，则BD，AC，OA₁两两互相垂直．
如图所示，分别以BD，AC，OA₁所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D（-$\sqrt{3}$，0，0），A（0，-1，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{DA}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（$\sqrt{3}，0，\sqrt{3}$），
平面AA₁CC₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）．
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面DAA₁的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=\sqrt{3}x-y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$．令x=1，则$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，-1）．
设二面角D-AA₁-C的平面角为θ，则θ是锐角，
故cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
因此二面角D-AA₁-C的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．