Question

（2012•海淀区一模）已知函数f（x）=

1，x∈Q 0，x∈CRQ

，则f（f（x））=

1

下面三个命题中，所有真命题的序号是

①②③

．
①函数f（x）是偶函数；
②任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立；
③存在三个点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC为等边三角形．

Answer 1

分析：根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1．根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数，①正确；根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，得②正确；取x₁=-

3

3

，x₂=0，x₃=

3

3

，可得A（

3

3

，0）、B（0，1）、C（-

3

3

，0）三点恰好构成等边三角形，得③正确．

解答：解：∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0
∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，ff（（x））=f（0）=1
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1
接下来判断三个命题的真假
对于①，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
所以对任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），故①正确；
对于②，若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故②正确；
对于③，取x₁=-

3

3

，x₂=0，x₃=

3

3

，可得f（x₁）=0，f（x₂）=1，f（x₃）=0
∴A（

3

3

，0），B（0，1），C（-

3

3

，0），恰好△ABC为等边三角形，故③正确．
故答案为：1     ①②③

点评：本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于基础题．