Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=

1

2

+log2

x

1-x

的图象上任意两点，且M为A，B的中点，并已知点M的横坐标为

1

2

．
（1）求证：点M的纵坐标为定值；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，n∈N*，且n≥2，求S_n；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数λ，使λ＜|

Sn-2

S2n-2

|≤λ2-2λ对任意n≥2，n∈N*恒成立？若存在，试求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）若点M的横坐标为

1

2

，则x₁+x₂=1，代入函数解析式，结合对数运算性质可得yM=

1

2

恒成立；
（2）Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)=

1

2

(n-1)+log2

1 n

1- 1 n

+log2

2 n

1- 2 n

+…+log2

n-1 n

1- n-1 n

，结合对数的运算性质，可得后面的对数式和为0，进而可得Sn=

n-1

2

（3）记Tn=|

Sn-2

S2n-2

|=|

n-5

2n-5

|=|

1

2

-

5

2(2n-5)

|，分析数列的单调性，分析出数列的最值，可构造关于λ的不等式，解不等式可得答案．

解答：解：（1）设M（x_M，y_M），根据题意：x₁+x₂=2x_M=1．
2yM=y1+y2=

1

2

+log2

x1

1-x1

+

1

2

+log2

x2

1-x2

=1+log2(

x1

1-x1

•

x2

1-x2

)
=1+log2

x1•x2

(1-x1)(1-x2)

=1+log2

x1•x2

1-(x1+x2)+x1•x2

=1，
∴yM=

1

2

．
（2）Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)
=

1

2

(n-1)+log2

1 n

1- 1 n

+log2

2 n

1- 2 n

+…+log2

n-1 n

1- n-1 n

=

1

2

(n-1)+log2(

1

n-1

•

2

n-2

•

3

n-3

…•

n-1

n-(n-1)

)
∴Sn=

n-1

2

．
（3）记Tn=|

Sn-2

S2n-2

|=|

n-5

2n-5

|=|

1

2

-

5

2(2n-5)

|，
可知T2=3，T3=2，T4=

1

3

，T5=0，n≥5，Tn为单调增数列且Tn＜

1

2

，
(|

Sn-2

S2n-2

|)max=3，(|

Sn-2

S2n-2

|)min=0，
由已知得：

λ＜0 λ2-2λ≥3

⇒

λ＜0 λ≥3或λ≤-1

⇒λ≤-1．

点评：本题考查的知识点是数列与函数的综合，对数的运算性质，数列的单调性，恒成立问题，中点公式，综合知识点多，运算强度大，属于难题．