Question

已知抛物线x²=4y上的点P（非原点）处的切线与x轴，y轴分别交于Q，R两点，F为焦点．
（Ⅰ）若

PQ

=λ

PR

，求λ．
（Ⅱ）若抛物线上的点A满足条件

PF

=μ

FA

，求△APR的面积最小值，并写出此时的切线方程．

Answer 1

分析：（I）设P(t，

t2

4

)(t≠0)，则由导数的几何意义可得PR的直线方程为y-

t2

4

=

t

2

(x-t)，可求Q，R，由

PQ

=λ

PR

，代入可求λ
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，PA的方程为：y-1=

t2 4 -1

t

x，联立方程得

y-1= t2 4 -1 t x 4y=x2

，解之得A，而S△APR=

1

2

|RF||xp-xA|=

1

2

|1+

t2

4

|•|t+

4

t

|=

1

2

|

t3

4

+2t+

t

4

|，
令f(t)=

1

2

(

t3

4

+2t+

4

t

)(t＞0)，通过导数研究函数的单调性，进而可求f（t）的最小值及取得最小值时的t，从而可求切线方程

解答：解：（Ⅰ）设P(t，

t2

4

)(t≠0)，则PR的直线方程为y-

t2

4

=

t

2

(x-t)（切线的斜率k=

t

2

），
令y=0得Q(

t

2

，0)，令x=0得R（0，-

t2

，4

）
∴

PQ

=(-

t

2

，-

t2

4

)，

PR

=(-t，-

t2

2

)，
所以λ=

1

2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，PA的方程为：y-1=

t2 4 -1

t

x，
联立方程得

y-1= t2 4 -1 t x 4y=x2

，解之得A点的坐标为(-

4

t

，

4

t2

)，S△APR=

1

2

|RF||xp-xA|=

1

2

|1+

t2

4

|•|t+

4

t

|=

1

2

|

t3

4

+2t+

t

4

|，
令f(t)=

1

2

(

t3

4

+2t+

4

t

)(t＞0)，f′(t)=

1

2

(

3

4

t2+2-

4

t2

)，
令f'（t）=0得t=

2

3

3

，当t∈(0，

2

3

3

)时，f'（t）＜0，当t∈(

2

3

3

，+∞)时，f'（t）＞0，
所以，f（t）当且仅当t=

2

3

3

时取最小值

16

9

3

，
因为

1

2

|

t3

4

+2t+

4

t

|是关于t的偶函数，同样地，当t=-

2 3

3

时，也取得最小值

16

9

3

，
此时切线PR的方程为y=

3

3

x-

1

3

或y=-

3

3

x+

1

3

．

点评：本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线的切线方程，利用导数研究函数的单调性、求解函数的最值及直线与曲线相交关系的综合应用，属于综合性试题