Question

（2011•浙江模拟）已知抛物线x²=4y，圆C：x²+（y-2）²=4，M（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0）为抛物线上的动点．
（Ⅰ）若y₀=4，求过点M的圆的切线方程；
（Ⅱ）若y₀＞4，求过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值．

Answer 1

分析：（I）当点M坐标为（4，4）时，设切线：kx-y+4-4k=0，圆心到切线的距离d=

|2-4k|

k2+1

=2，由此能求出切线方程．（Ⅱ）设切线：y-y₀=k（x-x₀），切线与x轴交于点（x0-

y0

k

，0），圆心到切线的距离d=

|-2+y0-kx0|

k2+1

=2，由此能求出两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值．

解答：解：（I）∵y₀=4，∴x₀=4，
当点M坐标为（4，4）时，设切线：y-4=k（x-4）
即kx-y+4-4k=0
圆心到切线的距离d=

|2-4k|

k2+1

=2，
|1-2k|=

k2+1

，
3k²-4k=0，解得k=0或k=

4

3

．
∴切线方程为y=4或4x-3y-4=0．
（Ⅱ）设切线：y-y₀=k（x-x₀），
即：kx-y+y₀-kx₀=0，
切线与x轴交于点（x0-

y0

k

，0），
圆心到切线的距离d=

|-2+y0-kx0|

k2+1

=2，
∴4+y₀²+k²x₀²-4y₀+4kx₀-2x₀y₀k=4k²+4，
化简得：（x₀²-4）k²+2x₀（2-y₀）k+y₀²-4y₀=0k²+2x₀（2-y₀）k+y₀²-4y₀=0，
设两切线斜率分别为k₁，k₂，
则k1+k2=

2x0(y0-2)

x02-4

，k1k2=

y02-4y0

x02-4

，
S=

1

2

|(x0-

y0

k1

)-(x0-

y0

k2

)|y0=

1

2

y02

|k1-k2|

|k1k2|

=

1

2

y02

(k1+k2)2-4k1k2 (k1k2)2

=

1

2

y02

4x02(y0-2)2-4(x02-4)(y02-4y0) (y02-4y0)2

=

2y0 x02+y02-4y0

y0-4

=

2y02

y0-4

=2[

16

y0-4

+(y0 -4)+8]
≥2(2

16 y0-4 •(y0-4)

+8)
=32．
当且仅当

16

y0-4

=y0-4，即y₀=8时取等号．
故两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值为32．

点评：本题考查直线与抛物线的综合运用，具体涉及到抛物线的基本性质及应用，直线与抛物线的位置关系、圆的简单性质等基础知识，轨迹方程的求法和点到直线的距离公式的运用，易错点是均值定理的应用．解题时要认真审题，仔细解答．