Question

已知关于x的函数，其导函数f′（x）．
（1）如果函数，试确定b、c的值；
（2）设当x∈（0，1）时，函数y=f（x）-c（x+b）的图象上任一点P处的切线斜率为k，若k≤1，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）f′（x）=-x²+2bx+c，由题意可得，求得或，再验证即可；
（2）当x∈（0，1）时，函数y=f（x）-c（x+b）=-x³+bx²，设图象上任意一点P（x，y），依题意可求得k=-+2bx≤1恒成立，x∈（0，1）．设g（x）=，利用导数可得g（x）在区间（0，1）上单调递减，从而可求得实数b的取值范围．
解答：解：（1）f′（x）=-x²+2bx+c
∵函数f（x）在x=1处有极值
∴（3分）
解得或（4分）
（i）当b=1，c=-1时，f′（x）=-（x-1）²≤0
所以f（x）在R上单调递减，不存在极值
（ii）当b=-1，c=3时，f′（x）=-（x+3）（x-1）
x∈（-3，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增
x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减
所以f（x）在x=1处存在极大值，符合题意．
综上所述，满足条件的值为b=-1，c=3（7分）
（2）当x∈（0，1）时，函数y=f（x）-c（x+b）=-x³+bx²，
设图象上任意一点P（x，y），则k=y′=-+2bx，x∈（0，1），
因为k≤1，
所以对任意x∈（0，1），=-+2bx≤1恒成立（9分）
所以对任意x∈（0，1），不等式b≤恒成立
设g（x）=，则g′（x）=，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0
故g（x）在区间（0，1）上单调递减
所以对任意x∈（0，1），g（x）＞g（1）=1（12分）
所以b≤1．（14分）
点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数研究函数恒成立问题，着重考查分类讨论思想与化归思想的运用，属于难题．